EasyLearn

Sličnost trouglova

, 08 2012 18:00:15 +0200

Sličnost je preslikavanje ravni na samu sebe pri čemu svake dve tačke A i B preslikava u A1 i B1 te iste ravni tako da je A1B1=k*AB, gde je k pozitivan realan broj.

Dva trougla su slična ako je jedan od njih podudaran a drugi homotetičan sa nekim trećim trouglom.

Stavovi sličnosti:

I stav: Trougao ABC je sličan tr. A1B1C1 akko je jedan par stranica jednog trougla proporcionalan odgovarajućem paru stranica drugog trougla, a uglovi zahvaćeni ovim stranicama su međusobno jednaki.

b:c=b1:c1 i <BAC=<B1A1C1

II stav: Trougao ABC je sličan tr. A1B1C1 akko su dve stranice jednog trougla proporcionalne odgovarajućim stranicama drugog trougla, a uglovi naspram dveju od tih stranica su jednaki.

a:c=a1:c1 i <BAC=<B1A1C1

III stav: Trougao ABC je sličan tr. A1B1C1 akko su im odgovarajuće stranice proporcionalne.

a:b:c=a1:b1:c1

IV stav: Trougao ABC je sličan tr. A1B1C1 akko su dva ugla jednog trougla jednaka odgovarajućim uglovima drugog trougla.

<BAC=<B1A1C1 <ABC=<A1B1C1

Teoreme:

Ako su dva trougla slična onda su njihove visine proporcionalne njihovim odgovarajučim stranicama a:a1=h:h1
Ako su dva trougla slična onda su njihovi obimi proporcionalni njihovim odgovarajučim stranicama O:O1=a:a1
Ako su dva trougla slična onda su njihove površine proporcionalne kvadratima njihovih stranica P:P1=a^2:a1^2
Za dva slična trougla važi:

a:a1=h:h1=t:t1=R:R1=r:r1

Primena sličnosti na pravougli trougao:

Hipotenuzina visina je geometrijska sredina odsečaka koje odseca na hipotenuzi.
Euklidov stav: Kateta je geometrijska sredina hipotenuze i odgovarajućeg odsečka hipotenuze.
Trougao ABC je pravougli akko važi a^2+b^2=c^2

Homotetija

, 08 2012 17:33:32 +0200

Neka je O data tačka i k broj različit od 0. Ako se figura F preslikava u F1, tako da svakoj tački M figure F odgovara svaka tačka M1 figure F1, tada se OM1=k*OM naziva HOMOTETIJA sa centrom u O i koeficijentom k. Zapisuje se H(O,k).

Osobine homotetije:

ukoliko je k=1, u pitanju je indentičko preslikavanje
ukoliko je k=-1, u pitanju je centralna simetrija sa centrom u O
OM=1/k*OM1

Teoreme:

Homotetija ne menja raspored tačaka prave.
Homotetija preslikava ugao u podudaran ugao sa paralelnim kracima.
Kompozicija 2 homotetije je homotetija.
Ako je k različit od 1, jedina fiksna tačka homotetije je njen centar.
Homotetija svaku pravu preslikava u njoj paralelnu pravu.
Svake dve paralelne prave su homotetične.
Jedine invarijantne prave homotetije(za k različito od 1) su one koje sadrže centar homotetije.
Homotetija H(O,k) u ravni je direktna transformacija.
Homotetija preslikava krug u krug - svaka dva kruga su homotetična.

Homotetija je bijekcija i jednoznačno je određena svojim centrom i koeficijentom. Ona održava podudarnost, raspored tačaka, paralelnost, jednakost uglova, a ne održava dužinu - nije izometrija.

Ovaj članak nije potpuno završen.

Krug

, 18 2011 22:01:35 +0200

Kružnica je skup svih tačaka u ravni jednako udaljenih od centra.
Krug je skup svih tačaka u ravni koje se nalaze na kružnici ili unutar nje.
Konciklične tačke su one tačke koje pripadaju istoj kružnici.
Poluprečnik kruga je duž koja spaja centar sa bilo kojom tačkom kruga.
Tetiva je duž određena dvema tačkama kružnice.
Prečnik je najduža tetiva koja prolazi kroz centar.
Kružni luk je podskup kružnice određen dvema tačkama.
Tangenta je prava koja dodiruje kružnicu u nekoj njenoj tački i normalna je na poluprečnik iz te tačke.
Centralni ugao je ugao čije je teme u centru kruga a kraci su mu poluprečnici.
Periferijski ugao je ugao čije je teme na kružnoj liniji a kraci su mu tetive.

Centralni ugao je dva puta veći od periferijskog ugla nad istim kružnim lukom.

Svi periferijski uglovi nad istim kružnim lukom su jednaki.
Svi periferijski uglovi nad prečnikom su pravi.
Obim kruga jednak je proizvodu njegovog prečnika i broja pi.

Površina kruga jednaka je proizvodu kvadrata poluprečnika tog kruga i broja pi.

Dužina kružnog luka kome odgovara centralni ugao alfa je:

Površina kružnog luka jednaka je:

Matematika - pojmovi

, 24 2011 22:34:58 +0100

Tačka (A) je geometrijski objekat kome ne pripisujemo ni oblik ni veličinu. Crtamo je vrhom olovke ili kao kružić i obeležavamo je velikim slovom latinice.
Prava (p) je geometrijsski objekat koji crtamo lenjirom i zamišljamo da se može neograničeno produžiti na obe strane.
Poluprava (Ap) je deo prave, ograničen tačkom A sa jedne strane, a sa druge strane se može neograničeno produžavati.
Duž (AB) je deo prave između dve tačke, uključujući i te dve tačke.
Ravan (α) je geometrijski objekat koji zamiljamo kao neograničeno uvećanje paralelograma i obeležavamo ga slovom grčkog alfabeta.

ravan

Grčki alfabet:

Α α alfa Ι ι jota Ρ ρ ro

Β β beta Κ κ kapa Σ σ, ς sigma

Γ γ gama Λ λ lambda Τ τ tau

Δ δ delta Μ μ mi Υ υ ipsilon

Ε ε epsilon Ν ν ni Φ φ fi

Ζ ζ zeta Ξ ξ ksi Χ χ hi

Η η eta Ο ο omikron Ψ ψ psi

Θ θ teta Π π pi Ω ω omega